مسئله نزدیک ترین نقطه در یک مجموعه چند وجهی و تعمیم آن

مسئله یافتن نزدیک ترین نقطه در مجموعه چندوجهی به نقطه داده شده را در نظر بگیرید، که در آن و . این مسئله را می توان به صورت مسئله برنامه ریزی درجه دوم محدب با ساختاری ویژه نمایش داد. در این پایان نامه هیچ محدودیتی روی رتبه ماتریس در نظر نمی گیریم. مسئله نزدیک ترین نقطه در یک مخروط چندوجهی، حالت خاصی از مسئله نزدیک ترین نقطه در یک مجموعه چندوجهی است که در آن بردار برابر با صفر است. در این پایان نامه، ساختار هندسی مسئله نزدیک ترین نقطه در یک مخروط چندوجهی را بررسی کرده و برای حل آن، یک الگوریتم کارآمد به نام الگوریتم اندیس موثر‏ بیان می کنیم. به ویژه، نشان می دهیم که با دانستن یک اندیس موثر از این مسئله، می توان مرتبه مسئله (تعداد متغیرها و تعداد قیدها) را یک واحد کاهش داد. سپس، با بیان رابطه بین مسئله نزدیک ترین نقطه در یک مخروط چندوجهی و مسئله نزدیک ترین نقطه در یک مخروط تولید شده، فرآیند را برای یافتن جواب بهینه مسئله نزدیک ترین نقطه در یک مخروط چندوجهی و یا پیدا کردن یک اندیس موثر آن، معرفی می کنیم. هم چنین، چند راهبرد برای پیاده سازی کارای این الگوریتم ذکر می کنیم. به علاوه، رابطه بین مسئله نزدیک ترین نقطه در یک مخروط چندوجهی و مسئله نزدیک ترین نقطه در یک مجموعه چندوجهی را بررسی کرده، و از این رابطه، به منظور بیان یک روش کارآمد برای حل مسئله نزدیک ترین نقطه در یک مجموعه چندوجهی با استفاده از الگوریتم اندیس موثراستفاده می کنیم. سپس نشان می دهیم که این رهیافت می تواند برای مینیمم کردن هر تابع درجه دوم اکیداً محدب روی یک مجموعه چندوجهی تعمیم داده شود. هم چنین از طریق آزمون های عددی کارایی این رهیافت را ارزیابی کرده و نشان می دهیم که برای رده ای از مسائل تصادفی، این رهیافت کاراتر از بقیه روش های موجود برای حل مسائل فوق می باشد.